1. Непрерывность действительной функции одного действительного переменного. Определение непрерывной функции в точке. Непрерывность суммы и произведения непрерывной функции. Свойства функций непрерывных на отрезке: т. Вейерштрасса, т. Больцано-Коши; непрерывность многочлена и рациональной функции.

Понятие функции

! задана переменная величина х, имеющая областью изменения некоторое множество {x}. If каждому значению переменой х из множества {x} становиться в соответствие по известному закону некоторое число y, то говорят, что на множестве {x} задана функция y=y(x) или y=f(x).

Переменная величина – величина, которая в условиях данного процесса принимает различные значения.

Область изменения переменой величины - множество {x} всех значений, которые может принимать переменная величина. При этом x называется аргументом, множество {x} областью задания функции y=f(x). Число y, которое соответствует данному значению аргумента х, называется частным значением функции в точке х. Совокупность всех частных значений функции образует вполне определенное множество {y}, называемое множеством всех значений функции.

Классификация функций: 1) линейные, 2) рациональные, 3) иррациональные, 4) трансцендентные.

Непрерывность действительной функции в точке

1) ! точка х₀ принадлежит области задания функции f(x) и любая е-окрестность точки х₀ содержит отличные от х₀ точки области заданной функции.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, if предельное значение этой функции в точке х₀ существует и =частному значению f(х₀).

Условие непрерывности функции f(x) в точке а: lim(/x->a)f(x)=f(x0)

2) Приращение функции y=f(x) в данной точке x₀ называется разность (delta)y=f(x0+(delta)x)-f(x0), где (delta)х – приращение аргумента.

Определение. Функция у=f(x) называется непрерывной в точке x_0, if  это функция определена на какой-нибуть окрестности точки x₀ и if lim(x->0)(delta)y=0 т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Непрерывность суммы и произведения непрерывных функций.

Арифметические операции над непрерывными функциями приводят к непрерывным функциям.

Теорема. ! заданные на одном и том же множестве функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀. Тогда функции f(x) ±g(x), f(x)*g(x) и f(x)/g(x) непрерывны в точке х₀ (частное условие при g(х₀) ≠0)

Доказательство. Так как непрерывные в точке x₀функции f(x) и g(x) имеют в этой точке предельные значения f(x₀) и g(x₀), то по теореме о пределах функций (гласит о том, что, если функции f(x) и g(x) имеют в точке x₀ предельные значения В и С, то функции f(x)±g(x), f(x)*g(x) и f(x)\g(x) (при C ≠0) имеют в точке x₀ предельные значения, равные соответственно B±C, B*C и B\C) предельные значения функций f(x)±g(x), f(x)*g(x) и f(x)\g(x) существуют и соответственно равны f(x₀)±g(x₀), f(x₀)*g(x₀) и f(x₀)\g(x₀). Эти величины как раз равны значениям соответствующих функций в точке x₀. Следовательно, согласно Определению 1 эти функции непрерывны в точке x₀.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функция называется непрерывной на интервале, if она непрерывна в каждой его точке.

Т. Вейерштрасса If ф-ция f(x) определена и непрерывна на отр [a,b], то она ограничена на этом отрезке.

Лемма. Функция f(x), непрерывная в точке x₀, ограничена в некоторой ее окрестности.

Доказательство теоремы: Предположим обратное, т.е. допустим, что функция f(x) не ограничена на отрезке [a,b]. Разделим отрезок [a,b] пополам, тогда, по крайней мере, на одном из двух полученных отрезков функция f(x) не ограничена (в противном случае она была бы ограничена на [a,b]). Обозначим этот отрезок через [a₁,b₁]. Разделим [a₁,b₁] пополам и обозначим через [a₂,b₂] тот отрезок, на котором функция f(x) не ограничена и т.д. Продолжая этот процесс неограниченно, получаем последовательность [a,b]э[a₁,b₁]э[a₂,b₂],… э[a_n,b_n]э… вложенных отрезков, на каждом из которых f(x) не ограничена, причем b_n-a_n=(b-a)\2(\ⁿ⁾->0 при n-> бесконечность. По теореме о вложенных отрезках существует точка с, принадлежащая всем отрезкам. Функция f(x) по условию определена и непрерывна в точке с, следовательно, согласно лемме в некоторой окрестности точки с она ограничена. При достаточно большом n в эту окрестность попадет отрезок [a_n,b_n], на котором функция f(x) не ограничена на каждом из вложенных отрезков. Полученное противоречие доказывает теорему.

Замечание. Теорема неверна, если отрезок [a,b] заменить интервалом (a,b).

Теорема Больцано-Коши

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка c Є (a,b), в которой f( c)=0.

Доказательство: пусть для определенности f(a)<0и f(b)>0. Разделим отрезок [a,b] пополам. Если значение функции в середине отрезка равно нулю, то теорема доказана. В противном случае выберем тот из двух полученных отрезков, на концах которого функция имеет значения разных знаков, и обозначим его [a₁,b₁]. Разделим его пополам. Если значение функции в середине отрезка равно нулю, то теорема доказана. В противном случае выбираем тот из отрезков, на концах которого f(x) имеет значения разных знаков, обозначим [a₂,b₂]. Если продолжить этот процесс неограниченно, то либо на каком-то k-ом шаге значение функции в середине отрезка [a_k,b_k] окажется равным нулю, либо получим последовательность [a,b]э[a₁,b₁]э[a₂,b₂],… э[a_n,b_n]э… вложенных отрезков, причем b_n-a_n=(b-a)\2ⁿ->0 при n-> бесконечность и на концах каждого отрезка [a_n,b_n] функция имеет значения разных знаков.

По теореме о вложенных отрезках существует точка с, принадлежащая всем отрезкам. Докажем, что f(c)=0. Действительно, если допустить, что f(c)>0, то по теореме об устойчивости знака непрерывной функции существует окрестность точки с, в которой f(x)>0. В эту окрестность при достаточно большом n попадет отрезок [a_n,b_n], следовательно, на отрезке [a_n,b_n] будет выполнено неравенство f(x)>0. Но это противоречит тому, что на концах отрезка [a_n,b_n] функция имеет значения разных знаков. Аналогично доказывается, что f(c) не меньше 0. При этом очевидно, что точка cЕ(a,b).

Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе их одной полуплоскости, границей которой является ось абсцисс, в другую пересекает эту ось.

Непрерывность многочленной и рациональной функции

Простейшим примером функции, непрерывной в любой точке x₀ числовой прямой, может служить постоянная функция f(x)=С. Действительно, в этом случае lim f(x)=C=f(x₀), x-> x₀, т.е. постоянная функция непрерывна в каждой точке числовой прямой.

Непрерывна также в каждой точке x₀ числовой прямой функция f(x)=x, т.к. lim x= x₀=f(x_0,) т.е. предел функции в точке x₀ равен е значению в этой точке. Из сказанного и из теоремы об арифметических действиях над непрерывными функциями следует, что в любой точке x₀ функции x(\²⁾=x*x, x(\³⁾=x(\²⁾*x,…, x(\ⁿ⁾=x(\^n-1)*x (n – натуральное число) непрерывны. Как известно, функция f(x)= x(\ⁿ⁾ называется степенной, а функция вида P(x)=C(/₀₎x(\ⁿ⁾+C(/₁₎ x(\^n-1) +…+C(/_n-1)x+C(/_n)

где n>=0 - целое число C_n - любые числа, - многочленом. Каждое из слагаемых P(x) есть произведение двух непрерывных функций (постоянной и степенной). По теореме об арифметических действиях над непрерывными функциями оно непрерывно в любой точке х. Многочлен P(x) является, т.о., суммой функций, непрерывных в любой точке х, и, следовательно, непрерывен в любой точке х.

Дробно-рациональная функция вида R(x)=P(x)/Q(x)

Где P(x) и Q(x) - алгебраические многочлены, непрерывна во всех таких точках х, в которых ее знаменатель не равен нулю (т.е. во всех точках, за исключением корней знаменателя), как частное непрерывных функций.