Теорема
о среднем. Пусть функция f(x) непрерывна в замкнутом интервале [а, b]. Тогда
внутри этого интервала существует хотя бы одно значение х=(кси), для которого2.Теоремы о среднем для действительных функций одного действительного переменного: теорема Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа. Примеры, показывающие существенность каждого условия теоремы Роля: теоретическая интерпретация.
Все вышеперечисленные теоремы являются основными теоремами дифференциального исчисления, поэтому сначала введем понятие дифференцируемости функции.
Опр. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0 if ее приращение (delta)y в этой точке можно представить в виде (delta)y=A(delta)x+(lamda)(delta)x, где А – некоторое число не зависящие от (delta)х, а (lambda) – функция аргумента (delta)х, являющаяся бесконечно малой при (delta)х->0.
Свойство определенного интеграла
Теорема
о среднем. Пусть функция f(x) непрерывна в замкнутом интервале [а, b]. Тогда
внутри этого интервала существует хотя бы одно значение х=(кси), для которого
(INT(/a)(\b)f(x)dx)/(b-a)=f(кси)
Теорема Ферма (1601-1665 Франция) Пусть функция y=f(x), непрерывная в некотором замкнутом интервале [x1, x2] принимает свое наибольшее (или наименьшее) значение во внутренней точке (кси) этого интервала: x1 < (кси) < x2 Если в точке (кси) производная функции f(x) существует, то она обязательно равна нулю:
f′(кси)=0
(производная в точке экстремума=0)
Док-во. Пусть функция f(x) принимает в точке ξ свое наибольшее значение; это значит, что f(x)<=f(кси) (*)
для всех x Е [x1, x2] (функция непрерывная на интервале обязательно принимает на нем свое наибольшее или наименьшее значение)
Производная f′(кси) равна
f'(кси)=lim(/(delta)x->0)(f(кси+(delta)x)-f(кси))/((delta)x)
Так как кси— внутренняя точка интервала, то приращение (delta)х может принимать и положительные, и отрицательные значения. Рассмотрим отношение (f(кси+(delta)x)-f(кси))/((delta)x)
Числитель этого отношения, согласно условию (*), не может быть положительным: f(кси+(delta)x)-f(кси)<=0
Поэтому при (delta)x>0 отношение (f(кси+(delta)x)-f(кси))/((delta)x)<=0 и предел его — правая производная также неположительна: f’(/пр)<=0 Если же (delta)x<0, то отношение (f(кси+(delta)x)-f(кси))/((delta)x)>=0и, следовательно, f’(/лев)>=0
Так как по условию теоремы в точке (кси) производная функции f(x) существует, то левая и правая производные должны быть равны. Это возможно только в случае f’(/лев)=f’(/пр)=0 Но тогда и f’(кси)=0, что и требовалось доказать.
внести соответствующие изменения в ход рассуждений, если в точке (кси) функция принимает свое наименьшее значение.
Геометрический смысл теоремы Ферма
касательная к графику функции в его наивысшей (или наинизшей) точке параллельна оси абсцисс.
Почти непосредственным следствием теоремы Ферма является теорема Ролля.
Теорема Роля (1652-1719 Франция). Если функция f(x) непрерывна в замкнутом интервале [x1, x2], дифференцируема во всех его внутренних точках и имеет на концах интервала равные значения, то внутри этого интервала существует хотя бы одно значение x=(кси), для которого f’(кси)=0
Доказательство. if на концах интервала значения функции равны между собой, f(x(/1))=f(x(/2)), то возможны два случая.
1) Внутри интервала функция вовсе не изменяется и везде f(x)=f(x(/1))=f(x(/2)); тогда ее производная равна нулю при всех значениях х.
2) Если функция изменяется, то, будучи непрерывной в замкнутом интервале, она принимает свое наибольшее и наименьшее значения, причем хотя бы одно из этих значений принимается ею внутри интервала [x1,x2] Действительно, если бы наибольшее и наименьшее значения принимались на концах интервала, то по условию теоремы они были бы равны и функция была бы постоянной. На рис. 64 изображен случай, когда функция принимает наибольшее значение внутри интервала в точке (кси).
По условию теоремы производная существует во всех внутренних точках интервала, а значит, и в точке, где функция принимает свое наибольшее или наименьшее значение. По теореме Ферма производная в такой точке равна нулю, а это как раз то, что и требовалось доказать.
Геометрическое истолкование теоремы Ролля таково:
На дуге линии y=f(x) между ее концами А и В найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис. 64). Если f(x(/1))=f(x(/2))=0|, то теорему можно формулировать так: Между всякими двумя нулями функции лежит хотя бы один нуль ее производной.
Теорема Лагранжа (1736-1813 Франция). Из геометрического истолкования т. Ролля: хорда, стягивающая концы дуги АВ (рис. 64), параллельна оси абсцисс, то касательная в точке М будет параллельна этой хорде, это последнее свойство сохранится и в том случае, когда хорда, стягивающая концы дуги, не будет параллельна оси абсцисс. Именно, пусть АВ — дуга непрерывной линии y=f(x), имеющая в каждой точке невертикальную касательную (рис. 66). Тогда на дуге всегда найдется хотя бы одна точка, в которой касательная будет параллельна хорде, стягивающей концы дуги АВ.
Если условия,
наложенные на дугу АВ, не выполняются, то такой точки может и не найтись
(рис. 67) 
Предположим теперь, что линия АВ задается уравнением у = f(x), где f(x) — дифференцируемая функция, и абсциссы точек А и В соответственно равны x1 и x2 (рис. 66). Так как угловой коэффициент хорды АВ равен (f(x2)-f(x1))/(x2-x1) а угловой коэффициент касательной в точке М (нарис. 66 их две) равен f′(кси), где
кси — абсцисса точки М, то из условия параллельности касательной и хорды следует равенство их угловых коэффициентов. Таким образом, мы приходим к следующему утверждению.
Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна в замкнутом интервале [x1,x2] и дифференцируема во всех его внутренних точках, то внутри этого интервала существует хотя бы одно значение x=кси для которого
(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=f'(кси)
Приведем теперь аналитическое доказательство этой теоремы. Для этого образуем вспомогательную функцию F(x)=f(x)-(lambda)x где (lambda)— угловой коэффициент прямой N1N2 (рис. 68), равный угловому коэффициенту хорды M1M2:
(lambda)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)
Функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: в интервале [x1,x2] она непрерывна и в интервале (x1,x2) дифференцируема, ибо этими свойствами обладают и f(x) и (lambda)x, а на концах интервала ее значения равны между собой:
F(x1)=f(x1)-(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)*x1=(x2*f(x1)-x1*f(x2))/(x2-x1)
F(x2)=f(x2)-(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)*x2=(x2*f(x1)-x1*f(x2))/(x2-x1)
Ясен и геометрический смысл вспомогательной функции F(x). Ордината точки ее графика будет изображаться отрезком PR (рис. 68), равным сумме постоянного отрезка
PQ=N1M1=N1M2
и отрезка QR. Значит, хорда, стягивающая конечные точки дуги, соответствующей новой функции, будет параллельна оси Ох. По теореме Ролля существует такая точка (кси)Е(x1,x2), что F'(кси)=0
Но F'(x)=f'(x)-(lambda); следовательно, f'(кси)-lambda=0, откуда
lambda=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=f'(кси), что и требовалось доказать
Часто имеет смысл записать формулу Лагранжа в ином виде.
По теореме Лагранжа имеем
f(x2)-f(x1)=f'(кси)*(x2-x1), x1<кси<x2.
Эта формула называется формулой конечных приращений. Она выражает тот факт, что
Приращение функции на интервале равно произведению производной в некоторой промежуточной точке интервала на приращение независимой переменной.
Формула конечных приращений позволяет дать точное выражение для приращения функции через приращение аргумента и значение производной в некоторой точке интервала.