2.Степенные ряды. Первая теорема Абеля. Параметры и радиусы сходимости. Равномерная сходимость степенного ряда. Непрерывность суммы. Наименьшая дифференцируемость. Ряд Тейлора.

!ДОДЕЛАТЬ!

Ряды являются важным математическим аппаратом, применяемым для вычислений и исследований как в различных разделах самой математики, так и во многих ее приложениях.

Пусть дана числовая последовательность a1, a2, a3,... an, ....

Выражение вида a1+a2+a3+...+an+...=SUM(/n=1)(\inf)an (1) называется числовым рядом или просто рядом.

Числа a1, a2, ..., an, ... называются членами ряда, член an c произвольным номером – общим членом ряда.

Суммы конечного числа членов рядов S1=a1, S2=a1+a2, Sn=SUM(/i=1)(\n)ai называются частичными суммами ряда. Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы образуют бесконечную последовательность частичных сумм S1, S2, S3, ... (2)

Ряд (1) называют сходящимся, если последовательность его частичных сумм (2) сходится к какому-нибудь числу S, которое в этом случае называют суммой ряда (1)

S=SUM(/n=1)(\inf)an. Если последовательность частичных сумм (2) расходится, то ряд (1) называется расходящимся.

Определение. Степенным рядом называется  ряд вида

a(/0)+a(/1)x+a(/2)x(\2)+...+a(/n)*x(\n)+...=SUM(/n=0)(\inf)a(/n)x(\n) (1)

Постоянные a0, a1,a2, ...  называются коэффициентами степенного ряда.

Придавая x различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться как сходящимися, так и расходящимися. Множество тех значений x при которых ряд (1) сходится, называется областью его сходимости. Это множество всегда не пусто, так как любой ряд сходится при x=0.

Очевидно, что частичная сумма степенного ряда Sn(x)=a0+a(/1)x+...+a(/n)*x(\n)

Является функцией переменной x. Поэтому и сумма ряда S также является некоторой функцией переменной x, определенной в области сходимости ряда.

S=S(x)=SUM(/n=0)(\inf)a(/n)x(\n) или f(x)=SUM(/n=0)(\inf)a(/n)x(\n)

Докажем теорему, имеющее важное значение в теории степенных рядов и касающуюся области сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля. Если степенной ряд a₀+ a₁x+ a₂x(\²⁾+…+ a_nx(\ⁿ⁾+…          (*) сходится в точке x0<>0 , то он абсолютно сходится в интервале (-|x0|,|x0|) , т.е. при всяком х, удовлетворяющем условию|x|<|x0|

Если степенной ряд a₀+ a₁x+ a₂x(\²⁾+…+ a_nx(\ⁿ⁾+…  (*) расходится при x=x1, то он расходится для всякого х, удовлетворяющем условию|x|>|x1|

Доказательство. Заметим, что вследствие сходимости ряда SUM(/n=1)(\inf)a(/n)x0(\n) его общий член стремится к нулю: a(/n)x(/0)(\n)->0; поэтому все члены этого ряда ограничены в своей совокупности, т.е. сущест­вует такое постоянное положительное число М, что при всяком n имеет место неравенство |a(/n)x(/0)(\n)|<M. Запишем ряд (*) так

a0+a1*x0(x/x0)+a2*x0(\2)*(x/x0)(\2)+..+an*x0(\n)*(x/x0)(\n)+..,

и составим ряд из абсолютных величин членов этого ряда:

|a0|+|a1*x0|*|x/x0|+|a2*x0(\2)|*|x/x0|(\2)+..+|an*x0(\n)|*|x/x0|(\n)+..,

В силу установленного неравенства каждый член здесь меньше соответствующего члена геометрической прогрессии со знамена­телем |x/x0|:

M+M*|x/x0|+M*|x/x0|(\2)+..+M*|x/x0|(\2)+..

Если |x|<|x0|, то |x/x0|<1

и прогрессия сходится; поэтому сходится и ряд абсолютных величин, а значит, абсолютно сходится сам ряд (*). Теорема доказана.

Несмотря на то, что|an*x(\n)|<|an*x0(\n)|, мы не можем сразу воспользоваться признаком сравнения, поскольку в условии теоремы не сказано, что ряд в самой точке x0 сходится абсолютно.

Следствие. Если степенной ряд (*) расходится при x=x0, то он расходится и при всяком х, большем по абсолютной ве­личине, чем x0, т.е. при |x|>|x0|

Перейдем к установлению области сходимости степенного ряда (*). Здесь возможны три случая:

1) Область сходимости состоит только из одной точки х = 0, другими словами, ряд расходится для всех значений х, кроме одного. Этот случай может быть иллюстрирован рядом

1+x+2(\2)*x(\2)+..+n(\n)*x(\n)+..;

действительно, если х фиксировано и x<>0, то, начиная с достаточно большого n, будет |nx|>1, откуда вытекает неравенство |n(\n)*x(\n)|>1 , означающее, что общий член ряда не стремится к нулю.

2)        Область сходимости состоит из всех точек оси Ох, другими словами, ряд сходится при всех х.

Рассмотрим ряд 1+x+(x(\2))/(2(\2))+..+(x(\n))/(n(\n))+..

Для любого х, начиная с достаточно большого n, будет |x/n|<1

Так как |x/(n+1)|(\n+1)<|x/n|(\n+1), |x/(n+2)|(\n+2)<|x/n|(\n+2) и т.д., то, начиная с номера n, члены ряда по абсолютной величине будут меньше членов сходящейся геометрической прогрессии. Следова­тельно, при любом х ряд сходится.

3)        Область сходимости состоит больше, чем из одной точки оси Ох, причем есть точки оси, не принадлежащие области сходимости.

В этом случае на числовой оси наряду с точками схо­димости ряда имеются и точки его расходимости.

Из теоремы Абеля и ее следствия вытекает, что все точки сходимости расположены от начала координат не дальше, чем любая из точек расходимости. Совершенно ясно, что точки сходи­мости будут целиком заполнять некоторый интервал с центром в начале координат.

Таким образом, можно сказать, что для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходи­мости, существует такое положительное число R, что для всех х, по модулю меньших R(|x| < R), ряд абсолютно схо­дится, а для всех х, по модулю больших R (|x| > R), ряд расхо­дится.

Что касается значений х=R и х=-R, то здесь могут осуществляться различные возможности: ряд может сходиться в обеих точках, или только в одной из них, или ни в одной. При этом ряд может сходиться как абсолютно, так и условно.

Определение. Радиусом сходимости степенного ряда (*) называется такое число R, что для всех х |х| < R, степенной ряд сходится, а для всех х,|х| > R, расходится. Интервал (—R, R) называется интервалом сходимости.

Условимся для рядов, расходящихся при всех x,.кроме х =0, считать R = 0, а для рядов, сходящихся при всех х, считать R = + inf (в дальнейшем пишется просто R = inf).

Функциональная последовательность fn, n=1,2,.. (1) называется равномерно сходящейся к функции f на множестве X если для любого e>0 существует такой номер n0, что для всех точек xЕX и всех номеров n>n0 выполняется неравенство |f(/n)(x)-f(x)|<e. Очевидно, что если последовательность (1) равномерно сходится на множестве X к функции f, то эта последовательность сходится к функции f на рассматриваемом множестве. Если последовательность {f(/n)} сходится на множестве X к функции f, то пишут f(/n)->(/X)f

А если эта последовательность сходится равномерно к f на указанном множестве, то пишут f(/n)->(/->)(//X)f

Непрерывность суммы. Наименьшая дифференцируемость

Лемма I. Степенной ряд правильно сходится в любом ин­тервале [—b, b], целиком лежащем внутри интервала сходимо­сти (—R, R).

Лемма II. Степенной ряд, составленный из производных членов ряда (*), имеет тот же радиус сходимости, что и дан­ный ряд.

Из лемм и общих свойств правильно сходящихся рядов вытекают следующие свойства степенных рядов:

1. Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в ин­тервале сходимости ряда:

S(x)=a0+a1x+a2x(\2)+..+anx(\n)+.. (-R<x<R)

Дополнительно отметим, что в том конце интервала, где сте­пенной ряд сходится, его сумма S(x) остается односторонне не­прерывной (изнутри интервала сходимости).

2.        Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости:

INT(/0)(\x)S(x)dx=INT(/0)(\x)a0dx+INT(/0)(\x)a1xdx+...+INT(/0)(\x)an*x(\n)dx=a0x+a1/2*x(\2)+a2/3*x(\3)+..+an/(n+1)*x(\n+1)+.. (-R<x<R).

Получившийся новый степенной ряд имеет тот же радиус схо­димости, что и данный.

3.        Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости:

S’(x)=a1+2a(/2)x+..+n*a(/n)*x(\n-1)+.. (-R<x<R).

Продолжая дифференцирование, последовательно получим

S’’(x)=2a(/2)+3*2a(/3)x+..+n(n-1)an*x(\n-2)+..,

S’’’(x)=3*2*a3+..+n(n-1)(n-2)a(/n)*x(\n-3)+..

и таким же образом дальше. Итак,

Степенной ряд в интервале его сходимости можно почлен­но дифференцировать любое число раз. При этом радиусы полу­чающихся степенных рядов остаются прежними.

Разложение функций в степенные ряды

Ряд Тейлора выясним Когда можно утверждать, что заданная функция f(x) явля­ется суммой некоторого степенного ряда?

предположим, что функция f(x) бесконечное число раз дифференцируема в окрестности некоторой точки x(/0). Допустим, что ее можно представить в виде суммы степенного ряда, сходя­щегося в каком-то интервале, содержащем точку x(/0): f(x)=a(/0)+a(/1)(x-x0)+a(/2)*(x-x0)(\2)+..+a(/n)(x-x0)(\n)+.., (*)

где a0, a1, .., an, .. — неопределенные пока коэффициенты.

Покажем, как, пользуясь свойствами степенных рядов, можно найти коэффициенты a0, a1, .., an, .. по известным значениям функции f(x) и ее производных в точке x0.

Положим в равенстве (*) x=x0 Будем иметь

f(x0)=a0

Продифференцируем степенной ряд f’(x)=a1+2*a2(x-x0)+..+na(/n)*(x-x0)(\n-1)+..

и снова положим x=x0 Тогда f’(x0)=a1

При следующем дифференцировании получим

f’’(x)=2*a2+..+n*(n-1)an*(x-x0)(\n-2)+..

Отсюда, полагая снова x=x0, найдем, что f’’(x0)=2a(/2), т.е. a(/2)=(f’’(x0))/(2!)

 После n-кратного дифференцирования получим

f(\(n))(x)=n!*a(/n)+..,

причем все остальные члены будут еще содержать множитель (x-x0) и, следовательно, при x=x0 обратятся в нуль. Мы получим f(\(n))(x0)=n!*a(/n), т.е. a(/n)=(f(\(n))(x0))/(n!)

Таким образом находятся последовательно все коэффициенты a0, a1, a2, .. разложения (*):

a(/n)=(f(\(n))(x0))/(n!) (где n=0,1,2,…)

Подставляя найденные выражения в равенство (*), получим ряд

f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+(f’’(x0))/(2!)*(x-x0)(\2)+..+(f(\(n))(x0))/(n!)*(x-x0)(\n)+.. (**)

который называется рядом Тейлора функции f{x).

Определение. Рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки x0 называется степенной ряд (**) относительно разности (x-x0) , коэффициенты которого a0, a1, a2,… выражаются через функцию f(x) и ее производные в точке x0 по форму­лам

a0=f(x0), a1=f’(x0), a2=(f’’(x0))/(2!),.. ,an=(f(\(n))(x0))/(n!),..

Эти коэффициенты называются коэффициентами Тейлора функции f(x) в точке x0

Таким образом, мы установили пока, что Если функцию f(x) можно разложить в степенной ряд по степеням разности (x-x0), то этот ряд обязательно является рядом Тейлора этой функции.

Обращаем внимание на то, что все наши рас­суждения были сделаны в предположении, что функция f(x) мо­жет быть разложена в степенной ряд.

Если заранее этого не предположить, а просто считать функ­цию f(x) бесконечное число раз дифференцируемой и составить для нее ряд Тейлора, то ниоткуда не следует, что этот ряд сходится при значениях х, отличных от x0. Более того, как это ни покажется странным читателю, могут быть даже такие случаи, что ряд Тейлора, составленный для функ­ции f(x), сходится, а сумма его вовсе не равна f{x).