4. Первообразная и неопределенный ∫. Опр. первообразной. Опр. неопределенного ∫, свойства.

Опр. по Риману. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Ньютон-Лейбниц.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), if в любой точке х из интервала (a,b) функция F(x) дифференцируема и имеет производную F’(x)=f(x).

Рассмотрим примеры.

1. функ F(x)=sin x является первооб. для ф-ции f(x)=cos x на всей числ прямой, тк при любом значении x(sin x)’=cos x.

2. Функция F(x)=x³ – первообразная для функции f(x)=3x² на всей числовой прямой, т.к. в каждой точке x(x³)’=3x².

Определение. Совокупность всех первообразных функций для данной функции f(x) на интервале (a,b) называется неопределенным интегралом от функции f(x) (на этом интервале) и обозначается

f(x)dx – подынтегральное выражение, f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования.

Операцию нахождения первообразной, восстановление функции по ее производной называют интегрированием функции.

Интегрирование – операция обратная дифференцированию.

Примеры: 1. ∫3x² dx = x³+C, так как (x³+C)’ = 3x².

2. ∫cos x dx = sin x +C, так как (sin x +C)’=cos x.
3. ∫(1\x)dx= ln |x|+C, так как (ln|x| +C)’ = 1\x.
4. ∫e^-2x dx = -1\2 e^-2x +C, так как (-1\2 e^-2x +C)’ = E^-2x.

Основные свойства неопределенного интеграла

Вытекают из определения

1. d∫f(x)dx=f(x)dx

знаки d и ∫ взаимно сокращаются, в случае if знак дифференциала стоит перед знаком интеграла, т.е. производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции;,

2. ∫dF(x)=F(x)+C

знаки ∫ и d взаимно сокращаются, в случае if знак интеграла стоит перед знаком дифференциала., н ов этом случае к F(x) следует добавить произвольную постоянныю С.  

Линейные свойства

3. ∫[f(x)±g(x)]d(x)= ∫f(x)d(x)± ∫g(x)d(x)

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности

4. ∫[Af(x)]d(x)=A∫f(x)dx

Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, if A=const и A≠ 0

Интеграл по Риману (Бернгард Риман 1826-1866)

Число I называется интегралом Римана функции f(х) на отрезке [a,b], if для любого ε>0 существует такое δ>0, что каково бы ни было разбиение τ={x_k} (0≤k≤k_τ) отрезка [a,b], мелкость которого меньше δ (т.е. |τ |<δ), и каковы бы ни были точки ζ_k Є[x_k-1,x_k], k=1,2,…, k_τ, выполняется неравенство | δ_τ(f; ζ₁, …, ζ_τ) – I| <ε.

Определение. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на сегменте [a,b] if  существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при ∆→0. Указанной придел I называется определенным интегралом от функции f(x) по сегменту [a,b] и обозначается

Наглядное геометрические представления показывают, что определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, определенной графиком функции f(x) на сегменте [a,b].

Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

Теорема 1. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a,b] функция f(x) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 нашлось такое разбиение Т сегмента [a,b], для которого

S-s≤ε                                    (3)

Доказательство. Необходимость:

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b]. Обозначим через I предел интегральных сумм этой функции. По определению предела интегральных сумм для любого ε>0 существует δ>0 такое, что для любого разбиения Т, удовлетворяющего условию ∆<δ, независимо от выбора точек ζ_i на частичных сегментах выполняется неравенство

|I{x_i, ζ_i} – I|<ε\4                             (4)

Зафиксируем любое разбиение T. Для него согласно свойству верхних и нижних сумм  для данного разбиения Т можно указать такие две интегральные суммы ζ_i’и ζ_i’’, что

S-I{x_i, ζ_i’}≤ε\4,                      I{x_i, ζ_i’’}-s≤ε\4                      (5)

Отметим, что обе интегральные суммы I{x_i, ζ_i’} и {x_i, ζ_i’’} удовлетворяют неравенству (4). Из соотношения S –s = (S – I{x_i, ζ_i’}) + (I{x_i, ζ_i’}–I) +(I - {x_i, ζ_i’’}) +({x_i, ζ_i’’} – s) и неравенств (4) и (5) следует, что S – s < ε,

Понятие верхних и нижних сумм

! функция f(x) ограничена на сегменте [a,b] и Т разбиение этого сегмента точкмми а=х₀<x₁<…<x_n=b. Обозначим через М_i и m_i соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте [x_i-1,x_i]. Суммы S= M₁∆x₁+ M₂x₂+…+ M_n∆x_n= и S= m₁∆x₁+m₂x₂+…+m_n∆x_n= называют соответсвено верхней и нижней суммами функций f(х) для данного разбиения T сегмента [a,b].

Свойство верхних и нижних сумм. для любого фиксированного разбиение Т и для любого ε>0 промежуточные точки ζ_i на сегментах [x_i-1, x_i] можно выбрать так, что интегральная сумма I{x_i, ζ_i } будет удовлетворять неравенствам 0≤S-I{x_i, ζ_i}< ε. Точки ζ_i можно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять условию 0≤I{x_i, ζ_i}-s< ε.

Достаточность:

Т.к. для любого разбиения Т справедливы неравенства s≤≤≤S (точные верхние и нижние грани – множество нижних и верхних сумм ограничено) и для любого ε>0, согласно условию теоремы, можно указать такое разбиение, что S-s≤ε, то 0≤≤≤ ε. В силу произвольности ε получим что =.

Общее значение чисел  и обозначим через I и докажем, что это число I является пределом интегральных сумм функций f(x). Действительно, в силу теоремы Дарбу это число I есть общий предел ∆→0 верхних и нижних сумм. Поэтому для любого ε можно указать такое δ, что при ∆< δ выполняется неравенства I-s<ε/2 и S-I<ε/2, т.е. при ∆<δ, S-s< ε, причем s≤I≤S. Любая интегральная сумма I{x_i, ζ_i} данного разбиения Т заключены между верхней и нижней суммами s≤ I{x_i, ζ_i}≤S. Таким образом при ∆< δ величины I и I{x_i, ζ_i} заключены между числами S и s, разность между которыми меньше ε. Отсюда вытекает что при ∆<δ

|I{x_i, ζ_i} – I|<ε

Следлвательно число I есть предел интегральных сумм. Теорема доказана.

Теорема Дарбу

Верхний  и нижний интегралы Дарбу от функции f(x) по сегменту [a,b]  являются соответсвено пределами верхних и нижних сумм при ∆→0.

Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральной суммы, как правило, связано с большими трудностями. Существует более удобный метод, который основан на связи между неопределенным и определенным интегралами.

Теорема. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нажнем пределах интеграла

 где F′(x)=f(x)

Значение определенного интеграла равно приращению любой первообразной от подынтегральной функции в интервале интегрирования.

Эта формула открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, поскольку задача вычисления опред.интеграла сводится к задаче исчисления неопред.интеграла, которая достаточно полно изучена.