5. Основные понятия теории вероятности, классификация событий. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности. Теоретико-множественная трактовка основных понятий и аксиоматическое построение теории вероятности.

Теория вероятности есть математическая наука, изучающая закономерность в случайных явлениях.

Случайное явление – явление, которое при  неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает несколько по-иному.

Ех. Стрельба из орудия, игральная кость

Величины,  которые  могут  принимать различные значения в зависимости от внешних по отношению к ним  условий, принято называть случайными (стохастичными по природе). Дискретные, непрерывные СВ.

Виды событий

События несовместны – если появление одного из них исключает появление другого.

События равновозможны – если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным чем другое.

Достоверные  -вероятность =1

Невозможные – вероятность=0

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появиться хотя бы одно из них

Классическое определение

Существуют различные определения вероятности: классическое, геометрическое, философское, интуитивное, статистическое, аксиоматическое и пр.

Математическая вероятность – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного явления при определенных, могущих повторятся неограниченное количество раз условий.

Представим, что у нас проводится эксперимент с пространством из n элементарных исходов, которые равновероятны. Элементарные исходы являются несовместными событиями поэтому вероятность каждого из них равна 1/n. Допустим, нас интересует событие А, которое наступает только при реализации благоприятных элементарных исходов, количество последних m (m<n). Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Р(А)=m/n.

Здесь предполагается что элементарные исходы n несовместны, равновозможны и образуют полную группу.

Свойства:

1. Вероятность достоверного события =1. (m=n)
2. вероятность невозможного события =0. (m=0)
3. вероятность случайного события есть положительное число, заключенной между 0 и 1.

0 < P(A) <1.

Геометрическое определение

Недостаток классического определения – он не приемним к испытаниям с бесконечным числом исходов.

Геометрическое определение – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости…).

! отрезок составляет часть отрезка L. На отрезок L на удачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L. Вероятность попадания точки на отрезок l  пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях веростность попадания точки на отрезок l определяется равенством:

P=длина l/длина L

Теоретико-множественная трактовка основных понятий и аксиоматическое построение теории вероятности.

Множество событий

Каждое множество имеет свою вероятность

Основные формулы комбинаторики стр 22. ->

Теорема сложения вероятности неповместных событий – 31

Теорема умножения вероятностей для независимых событий: