6. Случайная величина. Положение случайной величины. Законы распределения случайной величины Математическое ожидание и дисперсия проверке гипотезы. Функция мощности критерия. Проверка простых гипотез о параметрах биноминального, полиноминального и нормального распределений.

       Величины,  которые  могут  принимать различные значения в зависимости от внешних по отношению к ним  условий, принято называть случайными (стохастичными по природе). Дискретные, непрерывные СВ.

Для случайных величин (далее — СВ) приходится использовать особые,  статистические методы их описания. В зависимости от типа самой СВ — дискретная или непрерывная это делается по разному.

Дискретное описание заключается в том, что указываются все возможные значения данной величины (например - 7 цветов обычного спектра) и для каждой из них указывается вероятность или частота наблюдений именного этого значения при бесконечно большом числе всех наблюдений.

Можно доказать (и это давно сделано), что при увеличении числа  наблюдений в определенных условиях за значениями некоторой дискретной величины частота повторений данного значения будет все больше приближаться к  некоторому фиксированному значению  — которое и есть вероятность  этого значения.

К понятию вероятности значения дискретной СВ можно подойти  и  иным путем —  через случайные события. События с вероятностью 1называют достоверными, а с вероятностью 0 — невозможными.

Если  мы наблюдаем  за сложным событием — например, выпадением чисел  1..6  на верхней грани игральной кости, то можно считать, что такое событие имеет  множество исходов и для каждого из них вероятность составляет 1/6 при симметрии кости.

Стоит  только рассматривать итог бросания кости как дискретную  случайную величину и мы придем к понятию распределения вероятностей такой величины.

Пусть в результате достаточно большого числа наблюдений за игрой  с помощью одной и той же кости мы получили следующие данные:

Грани                      1          2          3          4          5          6          Итого

Наблюдения           140      80        200      400      100      80        1000

Подобную таблицу наблюдений за СВ часто называют  выборочным распределением,   а соответствующую ей картинку (диаграмму) — гистограммой.

Рис. 2.1

Какую же информацию несет  такая табличка  или  соответствующая ей гистограмма?

Прежде всего, всю —   так  как иногда и таких данных о значениях случайной величины нет и их приходится либо добывать (эксперимент, моделирование),  либо  считать  исходы  такого сложного события равновероятными —  по   на любой из исходов.

С другой стороны — очень мало, особенно в цифровом, численном описании СВ.  Как, например, ответить на вопрос: — а сколько в среднем мы выигрываем за одно бросание кости, если выигрыш соответствует выпавшему числу на грани? 

Нетрудно сосчитать:

1•0.140+2•0.080+3•0.200+4•0.400+5•0.100+6•0.080=  3.48          

То, что мы вычислили, наз-ся средним значением случайной величины, if нас интересует  прошлое.

Если же мы поставим вопрос иначе —  оценить по этим данным наш будущий выигрыш, то ответ  3.48   принято  называть  математическим ожиданием  случайной величины, которое в общем случае определяется как

Mx = å X_i · P(X_i);                                                                                                                            {2 - 1}

где  P(X_i) —   вероятность того, что X примет свое  i-е очередное значение.   

Таким  образом, математическое ожидание случайной величины (как дискретной, так и непрерывной)— это то, к чему стремится ее среднее  значение при достаточно большом числе наблюдений.

Обращаясь к нашему примеру, можно заметить, что кость  несимметрична, в противном случае вероятности составляли бы по 1/6 каждая, а  среднее и  математическое ожидание составило бы  3.5.

Поэтому уместен следующий вопрос -  а  какова  степень  асимметрии  кости - как ее оценить по итогам наблюдений?

Для этой цели используется специальная величина —  мера рассеяния —  так же как мы "усредняли" допустимые значения СВ,  можно усреднить ее  отклонения от среднего.  Но так как  разности (X_i - Mx) всегда будут  компенсировать друг друга,  то приходится  усреднять не отклонения от среднего,  а квадраты  этих отклонений. Величину    

        {2 - 2}

принято называть дисперсией  случайной величины X.

Вычисление  дисперсии намного  упрощается,  если   воспользоваться  выражением

Заметим, что размерность дисперсии не совпадает с размерностью самой СВ и это не позволяет оценить величину разброса. Поэтому чаще всего вместо дисперсии используется квадратный корень из ее значения — т. н. среднеквадратичное отклонение  или отклонение от среднего значения:

       {2 - 4}

Таким образом, наибольшее рассеяние значений СВ имеет место  при ее равновероятном  или равномерном  распределении.

Отметим, что значения Mx  и S_X являются размерными и  их  абсолютные значения мало что говорят. Поэтому часто для грубой оценки "случайности" данной СВ  используют т. н. коэффициент вариации или отношение корня квадратного из дисперсии к величине математического ожидания:

V_x  = S_X/M_X .    {2 - 5}

Итак, запомним, что неслучайная, детерминированная величина имеет математическое ожидание равное  ей самой, нулевую дисперсию и нулевой коэффициент вариации, в то  время  как равномерно распределенная СВ имеет максимальную дисперсию и максимальный коэффициент вариации.