9.      Линейные пространства. Определение, примеры, простейшие свойства. Единственность нейтрального, единственность противоположного элемента. Линейная зависимость. Координаты векторов и их связь при переходе к другому базису.

Определение линейного пространства. Множество R элементов х, у, z,... любой природы называется линейным (или аффинным) пространством, если выполнены следующие 3 требования.

1.  Имеется правило, посредством которого любым двум элементам х и у множества R ставится в соответствие третий элемент z это­го множества, называемый суммой элементов х и у и обозначаемый символом  z = х + у.

2.  Имеется правило, посредством которого любому элементу х мно­жества R и любому вещественному числуставится в соответствие элементэтого множества, называемый произведением элемента х на числои обозначаемый символом

3. Указанные два правила подчинены следующим восьми аксиомам:

1°)х + у = у + х (переместительное свойство суммы);

2°) (х + у) + z = х +- (у + z) (сочетательное свойство суммы);

3°) существует нулевой элемент 0 такой, что х + 0 = х для любого элемента х (особая роль 0-ого эл-та);

4°) для каждого элемента х существует противоположный элемент такой, что

5°) 1*х = х для любого элемента х (особая роль числового множителя 1);

6°)(сочетательное относительно числового множителя свойство);

7°)(распределительное относительно суммы числовых множителей свойство);

8°)(распределительное относительно суммы элементов свойство).

Пример 3. Важный пример линейного пространства дает множе­ство, элементами которого служат упорядоченные совокупности п произвольных вещественных чисел. Элементы этого множества мы будем обозначать одним символом х, т. е. будем писать, и при этом называть вещественные числакоординатами элемента х. В анализе множествообычно называют n-мерным координат­ным пространством. В алгебраической трактовке множество можно рассматривать как совокупность всевозможных строк, каждая из которых содержит п вещественных чисел.Операции сложения элементов множества и умножения этих элементов на вещественные числа определим правилами:

нулевым элементом рассматриваемого множества является элемент 0 = (0, 0, .. .,0), а противоположным для элементаявляется элемент(-х₁, -х₂,… -х_n)

Пример 4. Рассмотрим далее множество С [а, b] всех функций х = х (t), определенных и непрерывных на сегментеОперации сложения таких функций и умножения их на вещественные числа определим обычными правилами математического анализа. Элемен­тарно проверяется справедливость аксиом 1°)-8°), позволяющая за­ключить, чтомножество является линейным пространством.

Пример 5. Следующим примером линейного пространства может служить множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа п, с операциями, определен­ными так же, как в предыдущем примере. Заметим, что множество , если его рассматривать на сегменте, является подмножеством линейного пространства С [а, b], рассмотренного в при­мере 4.

Пример 1. Рассмотрим множество всех свободных векторов в трехмерном пространстве. Операции сложения указанных векторов и умножения этих векторов на числа определим так, как это было сде­лано в аналитической геометрии (сложение векторов определим по правилу «параллелограмма»; при умножении вектора на веществен­ное числодлина этого вектора умножается на, а направление при остается неизменным, а при—изменяется на противоположное).

Элементарно проверяется справедливость всех аксиом 1°)-8°) Таким образом, множество всех свободных векторов в пространстве с так определенными операциями сложения векторов и умножения их на числа представляет собой линейное пространство, которое мы будем обозначать символом

Аналогичные множества векторов на плоскости и на прямой, также являющиеся линейными пространствами, мы будем обозначать соот­ветственно символами B₁ и B₂

Замечание 1. множества, по той или иной причине не являющихся линейными пространствами:

а)       множество всех векторов пространства с исключением векторов, коллинеарных некоторой прямой J (ибо в пределах этого множества нельзя складывать векторы, симметричные относительно указанной прямой J);

б)      множество всех многочленов степени, точно равной натуральному числу п (сумма двух таких многочленов может оказаться многочленом степени ниже n);

в)        множество всех многочленов степени, не превышающей натурального n, все коэффициенты которых положительны (элементы такого множества нельзя умножить на отрицательные вещественныечисла).

Замечание 2. Отметим, что элементы произвольного линейно­го пространства принято называть векторами. То обстоятельство, что часто термин «вектор» употребляется в более узком смысле, при этом не приводит к недоразумениям, а, напротив, взывая к сложившим­ся геометрическим представлениям, позволяет уяснить, а зачастую и предвидеть ряд результатов, справедливых для линейных пространств произвольной природы.

Замечание 3. В сформулированном нами определении линейного пространства числабрались из множества вещественных чисел. Поэтому определенное нами пространство естественно назвать вещественным линейным пространством. При более широком подхо­де можно братьиз множества комплексных чисел. При этом мы придем к понятию комплексного линейного пространства.

Cвойства линейных пространств. Из аксиом 1°)-8°) в качестве логических следствий можно получить ряд утверждений, справедливых для произвольных линей­ных пространств.

Теорема 1. В произвольном линейном пространстве существу­ет единственный нулевой элемент и для каждого элемента х суще­ствует единственный противоположный элемент.

Доказательство. Существование хотя бы одного нулевого эле­мента утверждается в аксиоме 3°). Предположим, что существуют два нулевых элемента. Тогда, полагая в аксиоме 3°) сначала, а затем, мы получим два равенства , левые части которых (в силу аксио­мы 1⁰)) равны. Стало быть, в силу транзитивности знакаравны и правые части двух последних равенств, т. е., и единственность нулевого элемента установлена.

Существование для каждого элемента х хотя бы одного противо­положного элемента у утверждается в аксиоме 4°). Предположим, что для некоторого элемента х существует два противоположных элемента так чтоНо тогда, в силу аксиом 3°), 2°) и 1°), и единственность для каждого элемента х противоположного элемента доказана. Теорема доказана.

Теорема 2. В произвольном линейном пространстве

1)   нулевой элемент 0 равен произведению произвольного элемен­та х на вещественное число 0;

2)   для каждого элемента х противоположный элемент равен про­изведению этого элемента х на вещественное число — 1.

Доказательство.1) Пусть х — произвольный элемент, а у — ему противоположный. Последовательно применяя аксиомы 3°), 4°), 2°), 5°), 1°), 7°) и снова 5°) и 4°), будем иметь х*0=х*0+0=х*0+(х+у)=(х*0+х)+ у=(х•0+х•1)+у=х(0+1)+у=х*1+у=х+у=0, т. е. х*0 = 0.

2) Пусть х — произвольный элемент, у=(-1)•х. Используя аксиомы 5°), 7°), 1°) и уже доказанное равенство х•0=0, получим равенство х+у=х+(-1)х =1•х+(-1)х=[1+(-1)]х=0-х=х•0=0, которое и доказывает (в силу аксиомы 4°)), что у —элемент противоположный х. Теорема доказана.

Линейная зависимость

Рассмотрим произвольное ве­щественное линейное пространство R с элементами х, у, ..., z, ...

Линейной комбинацией элементов х, у, ..., z пространства R мы будем называть сумму произведений этих элементов на произвольные вещественные числа, т. е. выражение вида

 (2.1)

где— какие угодно вещественные числа.

Определение 1. Элементы х, у, ..., z пространства R называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация элементов х, у, ..., z с указанными числами является ну­левым элементом пространства R, т. е. имеет место равенство (2.2)

Элементы х, у, ..., z, не являющиеся линейно зависимыми, мы будем называть линейно независимыми.

Дадим другое опр лин незав векторов, постро­енное на логическом отрицании содержания определения 1.

Определение 2. Элементы х, у, ..., z пространства R называют­ся линейно независимыми, если линейная комбинация (2.1) является нулевым элементом пространства R лишь при условии

Теорема 2.3. Для того чтобы элементы х, у, ..., z простран­ства R были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов являлся линейной комбинацией остальных элементов.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть элементы х, у, ..., z линейно зависимы, т. е. справедливо равенство (2.2), в ко­тором хотя бы одно из чиселотлично от нуля. Пусть, ради определенности,Тогда, поделив (2.2) на а и введя обозначения , мы можем  переписать (2.2) в виде (2.3) а это и означает, что элемент х является линейной комбинацией эле­ментов х, у, ..., z.

2) Достаточность. Пусть один из элементов (например, х) яв­ляется линейной комбинацией остальных элементов. Тогда найдутся числатакие, что справедливо равенство (2.3). Но это последнее равенство можно переписать в виде (2.4) Так как из чиселодно отлично от нуля, то равенство (2.4) устанавливает лин зависимость элементов х, у, ..., z. Теорема доказана.

Справедливы два элементарных утверждения.

1. Если среди элементов х, у, ..., z имеется нулевой элемент, то эти элементы линейно зависимы. В самом деле, если, например, х = 0, то равенство (2.2) справедливо при

2. Если часть элементов х, у, ..., z являются линейно зависимы­ми, то и все эти элементы являются линейно зависимыми. В самом

Базис и координаты. Рассмотрим произвольное вещественное линейное пространство R.

Определение. Совокупность линейно независимых элементов пространства R называется базисом этого пространства, если для каждого элемента х пространства R найдутся вещественные числатакие, что справедливо равенство (2.6)

При этом равенство (2.6) называется разложением элемента х по базису а числаназываются координатами элемента х (относительно базиса

Докажем, что каждый элемент х линейного пространства R мо­жет быть разложен по базисуединственным спо­собом, т. е. координаты каждого элемента х относительно базиса определяются однозначно

Допустим, что для некоторого элемента х наряду с разложением (2.6) справедливо еще и другое разложение по тому же самому базису (2.7) Почленное вычитание равенств (2.6) и (2.7) приводит нас к соотно­шению (из св-в 1°)-8°) (2-8)

В силу линейной независимости базисных элементов, соотношение (2.8) приводит к равенствамилиЕдинственность разложения по базису доказана. Значение базиса заключается также и в том, что операции сложения элементов и умножения их на числа при задании базиса превращаются в соответствующие операции над числами — координатами этих элементов. Именно справедливо сле­дующее утверждение.

Теорема. При сложении двух любых элементов линейного пространства R их координаты (относительно любого базиса про­странства R) складываются; при умножении произвольного элемен­та на любое числовсе координаты этого элемента умножаются на

Доказательство. Пусть —произвольный  базис пространства  — любые два элемента этого пространства.

Тогда в силу аксиом 1°)-8°)

В  силу  единственности  разложения  по  базису теорема доказана.