10.Многочлены. Кольцо многочленов над кольцом с единицей. Делимость многочленов, теорема о делении с остатком. Значение и корень многочлена. Теорема Безу.

Опр. Многочлена, кольца.

Построение кольца многочленов над кольцом с единицей. Зафиксируем любое кольцо R с единицей е и рассмотрим мно­жествовсех таких бесконечных последовательностей  (1)

элементов из R, в каждой из которых имеется лишь конечное чис­ло отличных от 0 членов.

Кратко последовательность (1) будем обозначать в виде Определим на множествеоперации сложения и умножения.

Опред 1. Суммой последовательностейиз  назовем последовательность , в которой

 (2) Обозначение:  (3)

Опред 2.  Произведен последовательностей ,  изназовем последоват-ность, в которой

Обозначение:. ,

Легко видеть, что в последовательностяхиз определений 1, 2 имеется лишь конечное множество отличных от нуля членов. Следовательно, сложение и умножение последовательностей являются алгебраическими операциями на множестве

Теорема 1. Для любого кольца R с единицей множество относительно определенных в нем операций сложения и умно­жения является кольцом с единицей. Оно называется кольцом многочленов над R.

Доказательство. Проверим все требования определения кольца. Коммутативность и ассоциативность операции сложения очевидны. Нулевым элементом в .является последовательность (0) = (0,0,0,...),

противоположной к последовательностиявляется последова­тельность

Докажем ассоциативность умножения:  (4)

Обозначим:

Для доказательства равенства (4) достаточно показать, что  С этой целью вычислимпри любом г. Используя определение 2 и свойства операций сложения и умножения в кольце R, получим:

Сравнивая, замечаем, что, и (4) доказано.

Аналогично доказывается дистрибутивность умножения отно­сительно сложения. Сле­довательно,есть кольцо. Его единицей является последова­тельность (е, 0,0,...). Теорема доказана.

Определение многочлена над кольцом

Рассмотрим подмножествовсех последовательностей вида (а, 0,0,...).      (5)

Из определений 1, 2 следует, что (а, 0,0,...) + (b,0,0,...) = (а + b,0,0,...), (а,0,0,...)(b,0,0,) = (аb,0,0,...).

Отсюда видно, что А — подкольцо кольца, изоморфное кольцу R. В связи с этим мы, по аналогии с построением поля комплекс­ных чисел С, отождествим последовательность (5) с элементом а, включив тем самым R в . Кроме того, введем еще обозначение: (0,е,0,0,...) = x. Теперь нетрудно доказать, что для любых

где перед е и о содержится по к нулей. Используя последнее ра­венство и операцию сложения в , а также учитывая, что в последовательностиизсодержится лишь конечное число ненулевых членов, можно записать:  где п выбрано так, что

Таким образом, можно считать, чтоесть множество выра­жений вида

      (6)

где Выражение вида (6) называется многочленом от х над кольцом R и обозначается в виде а(х), f(x) и т. и Кольцо всех многочленов от х над кольцом R обозначается через R[x].

Многочлены вида называются членами многочлена (6), элементы— его коэффициентами, — свободным, членом. Если то п называется степенью многочлена (6), а элемент— старшим коэффициентом. Степень многочлена а(х) обозначается в виде deg a(x) (от англ. degree). Многочлен со старшим коэффициентом, равным единице, называется унитарным. В том случае, когда все коэффициенты многочлена а(х) равны нулю, т. е. многочлен а(х) — нулевой, пи­шут а(х) = 0. Степень нулевого многочлена считают равной Заметим, что ненулевые элементы кольца R как многочлены име­ют нулевую степень.

Вопросы делимости в кольце многочленов над полем

Зафиксируем произвольное поле Р и рассмотрим кольцо мно­гочленов Р[х]. Р[х] — не поле. В нем обратимыми элементами являются лишь ненулевые элементы по­ля Р. Поэтому в нем не всегда возможно деление (даже на нену­левой элемент). В связи с этим в кольце R[x] интересно ввести и изучить отношение делимости.

Определение 1. Пусть а(х), b(х) — произвольные многочле­ны из Р[х]. Говорят, что многочлен а(х) кратен многочлену b(х) или делится на многочлен b(х), а b(х) делит а(х), если в Р[х] существует многочлен q(x), удовлетворяющий условию а(х) = b(x)q(x).

Обозначения:

Теорема 1. Для любых многочленов имеют место следующие свойства делимости:

Замечание. Из свойства 6) следует, что любой многочлен a(х) делится на любой Ненулевой элемент поля Р и на любой много­член, отличающийся от а(х) лишь ненулевым множителем из Р. Все такие делители многочлена а(х) называются его тривиальными (очевидными) делителями. Как и в кольце целых чисел Z, в кольце многочленов Р[х] мож­но определить деление с остатком.

Определение 2. Пусть а(х), b(х) — любые многочлены из кольца Р[х]. Говорят, что а(х) делится с остатком на b(х), если существуют такие многочлены q(x), r(х) € Р[х], что выполняются условия:

При этом многочлены q(x) и r(х) называются соответственно неполным частным и остатком от деления а(х) на 6(х).

Теорема 2. Если а(х), b(х)  — многочлены над полем Р и  , то а(х) можно разделить с остатком на b(х), при этом неполное частное и остаток от деления находятся одно­значно.

Доказательство существования (частного и остатка). Для доказательства нам будет удобнее записывать многочлены по убыванию показателей у буквы х:

Так как, то можно считать, что 1-й случай:. Тогда условия 1) — 2) определения 2 выполняются при  2-й случай:. Не теряя общности, можно считать, чтоВ этом случае вычтем из а(х) многочлен  Так как старшие коэффици­енты у многочленовравны, то полученный многочлен  будет иметь степень  Если , то условия 1) — 2) определения 2 будут выполняться при  Если же, то вычтем измногочлен  гдевыбран так, чтобыимел тот же старший коэффициент, что и. Получим многочлен  степени, Так как степень многочлена бесконечно убывать не может, то, продолжая указанный процесс, получим последова­тельность многочленов, где Запишем соответствующую цепочку равенств:

Складывая все эти равенства, получим:

Отсюда имеем: условия 1) — 2) определения 2 выполняются при

Таким образом, частное q(x) и остаток r{х) существуют во всех случаях.

Доказательство единственности. Пусть

Отсюда имеем:

 (9)

Приравенство (9) противоречиво, поскольку в этом случае многочлены в левой и правой частях равенства (9) будут иметь разные степени. Следовательно,, а поэтому и  . Теорема доказана.

Значение и Корни многочлена

Пусть

— многочлен над кольцом R и r — элемент кольца R. Подставим в f(х) вместо х элемент r и произведем все операции, указанные в записи многочлена, считая, что rⁱ есть i-я степень элемента r. В итоге получим элемент кольца R, который называется значением многочлена f(x) при x=r и обозначается в виде f(r):

Таким образом, с помощью многочлена f(х) на R определяется функция, в связи с чем иногда и сам многочлен называют функцией. Сравнивая правило сложения многочленов и их значений, лег­ко убедиться в том, что значение суммы двух многочленов равно сумме их значений при том же значении х, т. е.

 (13)

Для произведения многочленов над кольцом в общем случае аналогичное свойство не выполняется. Действительно, пусть

Тогда  по  определению  произведения  многочленов   f(x)   = =а для значений многочленов имеем:

Отсюда видно, что равенство

выполняется лишь в том случае, когда элемент b перестановочен с. Так как умножение многочленов сводится к умножению их членов и сложению полученных произведений, то из этих же рас­суждений видно, что импликация  (14) выполняется для любых, если r перестановочен со всеми коэффициентами многочлена. В частности, свойство (14) имеет место для любых многочленов над коммутатив­ным кольцом, а значит, и над любым полем.

Определение 1. Элемент r кольца R называется корнем мно­гочлена, если значение многочлена f(x) при х=r равно нулю.

Короче: r — корень f(x), если f(r) = 0.

Теорема Безу. Значение многочлена f(x) над полем Р при х = а равно остатку от деления многочлена f{x) на многочлен (х- а)

Доказательство. Разделив с остатком f(x) на х — а, получим: f(x) = (x-a)q(x)+r,         (15)

где r € Р, поскольку степень остатка меньше 1. Подставив теперь в равенство (15) вместо х элемент а и воспользовавшись свойства­ми (13), (14), найдем: f(а) = r.

Следствие 1. Элемент а поля Р является корнем многочле­натогда и только тогда, когда f(x) делится на мно­гочлен х — а.

Следствие 2. Многочлен f(x) степени п над полем Р может иметь в поле Р не более п различных корней