11. Кольца матриц. Матрицы над кольцом и операции над ними. Кольцо квадратных матриц. Определители квадратных матриц над коммутативным кольцом с единицей. Критерий обратимости матрицы над коммутативным кольцом с единицей.

Кольца матриц. Кольцо квадратных матриц.

Матрицей наз прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и n столбцов.

Числа m n  наз. Порядком матрицы. If m=n матр квадратная

Множество квадратных матриц порядка n относительно операции сложения и умножения матриц есть кольцо с единицей Е – единичной матрицей, при n>1 оно некоммутативное.

Операции над матрицами

Для обозначения суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция  составления суммы  матриц называется  их  сложением. сложения матриц обладает свойствами

1)  переместительным свойством: А + В = Б + А;

2)  сочетательным свойством: (А + В) + С = А + (В + С).

Для обозначения произведения матрицы на число используется за­письили. Операция составления произведения мат­рицы на число называется умножением матрицы на это число. Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1)      сочетательным свойством относительно числового множителя:

2)      распределительным  свойством относительно  суммы  матриц:

3)распределительным свойством относительно суммы чисел:

Для обознач произвед матр А на матр В использу­ют запись С = А В. Операция составления произведения матрицы А на матрицу В называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матри­цу А можно умножить не на всякую матрицу В: необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было = числу строк матрицы В. Для того чтобы оба произведения А *B и B*A были определены необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и В были квадр матрицами одного и того же порядка.

Определители

Кольцо коммутативно if а*b=b*a – умножение коммутативно

Коммутативное Кольцо с единицей if существует 1ЄМ а*1=1*а=а

Рассмотрим произвольную квадрат­ную матрицу любого порядка n:

 (1.8)   1

С каждой такой матрицей свяжем вполне определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице. Если порядок п матрицы (1.8) равен единице, то эта матрица состоит из одного элементаи определителем первого порядка, со­ответствующим такой матрице, мы назовем величину этого элемента. Если далее порядок п матрицы (1.8) равен двум, т. е. если эта матрица имеет вид

 (1.9)

то определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, назовем число, равноеи обозначаемое одним из символов . Итак, по определению

  (1.10) Формула (1.10) представляет собой правило составления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы. Словесная формулировка этого правила такова: определитель второго поряд­ка, соответствующий матрице (1.9), равен разности произведения эле­ментов, стоящих на главной диагонали этой матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной ее диагонали.

В дальнейшем изложении мы будем говорить об элементах, стро­ках или столбцах определителя, подразумевая под этими терминами соответственно элементы, строки или столбцы отвечающей этому опре­делителю матрицы.

Перейдем теперь к выяснению понятия определителя любого по­рядка п , гдеПонятие такого определителя мы введем индуктив­но, считая, что нами уже введено понятие определителя порядка п — 1, соответствующего произвольной квадратной матрице порядка п — 1.

Договоримся называть минором любого элемента матрицы n-го порядка (1.8) определитель порядка п — 1, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания i-й строки и j-го столбца (той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент). Минор элементабудем обозначать символом. В этом обозначении верхний индекс обозна­чает номер строки, нижний — номер столбца, а черта над М означает, что указанные строка и столбец вычеркиваются.

Определителем порядка п, соответствующим матрице (1.8), на­зовем число, равноеи обозначаемое символом

 (1.11)

Итак, по определению

 .     (1.12)

Формула (1.12) представляет собой правило составления определителя порядка п по элементам первой строки соответствующей ему матрицы

и по минорамэлементов первой строки, являющимися определителями порядка п — 1.

Заметим, что при п = 2 правило (1.12) в точности совподает с : правилом (1.10), ибо в этом случае миноры элементов первой строки имеют вид:

Критерий обратимости матрицы над коммутативным кольцом с единицей.

! К – кольцо с единицей. Элемент а называется обратимым, if  существует такой элемент а^-1, для которого аа^-1=а^-1а=1

Понятие обратной матрицы. Пусть А —квадратная матрица n-го порядка, а Е — единичная квадратная матрица того же порядка Матрица В называется правой обратной по отношению к матри­це А, если АВ = Е. Матрица С называется левой обратной по отношению к матрице А, если С А — Е.

Так как обе матрицы А и Е являются квадратными матрицами порядка n то матрицы В и С (при условии, что они существуют) также являются квадратными матрицами порядка n

Теорема. Для того, чтобы для матрицы А существовали левая и правая обратные матрицы, необходимо и достаточно, чтобы определитель det А матрицы А был отличен от нуля.

Док-во. 1) Необходимость. Если для матрицы А существует хотя бы одна из обратных матриц, например В, то из со­отношения А*В = Е мы получим, что detА*detB=detE=1, откуда вытекает, что

2) Достаточность. Пусть определительотличен от нуля. Обозначим, как и выше, символом алгебраические дополнения элементовматрицы А и составим матрицу В, в i-й строке которой стоят алгебраические дополнения i-го столбца матрицы А, поделенные на величину определителя

 (1.41)

Убедимся в том, что эта матрица В является как правой, так и левой обратной по отношению к матрице А.

Достаточно доказать, что оба произведения АВ и ВА являются единичной матрицей. Для этого достаточно заметить, что у обоих про­изведений любой элемент, не лежащий на главной диагонали, равен нулю, ибо после выноса множителяэтот элемент равен сумме произведений элементов одной строки (или одного столбца) на соот­ветствующие алгебраические дополнения другой строки (или другого столбца). Что же касается элементов, лежащих на главной диагонали, то у обоих произведений АВ и ВА все такие элементы равны едини­це в силу того, что сумма произведений элементов и соответствующих алгебраических дополнений одной строки (одного столбца) равна опре­делителю. Теорема доказана.

Замечание 1. Квадратную матрицу А, определитель det А которой отличен от нуля, принято называть невырожденной