Общематематические дисциплины

1. Непрерывность действительной функции одного действительного переменного. Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность суммы и произведения непрерывных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке: теорема Вейерштрасса, Больцано-Коши; непрерывность многочленной и рациональной функции

2. Теорема о среднем для действительных функций одного действительного переменного. Теорема Ферма; теорема Ролля, теорема Лангража. Примеры, показывающие существенность каждого условия в теореме Ролля: теоретическая интерпретация.

3. Степенные ряды. Первая теорема Абеля. Параметры и радиус сходимости. Равномерная сходимость степенного ряда. Непрерывность суммы. Поименная дифференцируемость. Ряд Тейлора.

4. Первообразная и неопределенный интеграл. Определение первообразной. Определение неопределенного интеграла и его свойства. Определение интеграла по Риману. Необходимые и достаточные условия интегрируемости. Формула Ньютона-Лейбница.

5. Основные понятия теории вероятности, классификация событий. Классические определения вероятности. Геометрические определения вероятности. Теоретико-множественная трактовка основных понятий и аксиоматическое построение теории вероятности.

6. Случайная величина. Положение случайной величины. Законы распределения случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия случайных величин: определение и свойства. Вычисление математических ожиданий и дисперсий распределения: биноминального, Пуассона, нормального.

7. Законы больших чисел и предельные теоремы. Неравенство Маркова, неравенство Чебышева, теорема Чебышева: центральная и предельная теорема. Проверка статистических гипотез. Принципы практической уверенности.

8. Стохастическая гипотеза и общая схема ее проверки. Основная и альтернативная, простая и сложные гипотезы. Ошибки первого и второго рода при проверке гипотезы. Функция мощности критерия. Проверка простых гипотез о параметрах биноминального, полиноминального и нормального распределений.

9. Линейные пространства. Определение, примеры, простейшие свойства. Единственность нейтрального, единственность противоположного элемента. Линейная зависимость. Координаты векторов и их связь при переходе к другому базису.

10. Многочлены. Кольцо многочленов над кольцом с единицей. Делимость многочленов, теорема о делении с остатком. Значение и корень многочлена. Теорема Безу.

11. Кольца матриц. Матрицы над кольцом и операции над ними. Кольцо квадратных матриц. Определители квадратных матриц над коммутативным кольцом с единицей. Критерии обратимости матрицы над коммутативным кольцом с единицей.

12. Сравнения и вычеты. Кольцо вычетов. Малая теорема Ферма. Сравнения первой степени. Китайская теорема об остатках.

13. Системы линейного уравнения над кольцом и полем. Системы линейных уравнений над коммутативным кольцом с единицей. Равносильность систем. Системы уравнений над кольцом. Однородные уравнения и функциональная система решений.

14. Алгоритмы на графах. Обход графа в глубину, построение глубинного остовного леса и классификация ребер не вошедших в лес. Алгоритмы нахождения связных компонентов неориентированных графов и сильно связных компонентов ориентированных графов. Поиск в ширину и кратчайшие пути в графе.

15. Алгоритмы поиска в последовательно организованных файлах. Бинарный и интерполяционный поиск. Поиск в файлах, упорядоченных по вероятности. Самоорганизующиеся файлы. Оценки трудоемкости.